Interpretación de la Cinemática: Desentrañando la Relación Entre Variables Cinemáticas con un Análisis Gráfico

 Un desafío fundamental que encuentran los estudiantes al emplear ecuaciones diferenciales en la resolución de problemas de física radica en la falta de comprensión básica sobre la relación entre las variables y sus comportamientos. Para elucidar la aplicación de las ecuaciones diferenciales en física, comencemos con la cinemática, examinando específicamente escenarios con aceleración constante.

En las discusiones sobre cinemática, tradicionalmente entendemos la distancia, la velocidad y la aceleración como unidades distintas. Sin embargo, están intrincadamente entrelazadas, siendo la distancia la piedra angular y el objetivo final de las otras dos variables. Vamos a explicar cómo estas variables aparentemente dispares convergen en torno al concepto central, la distancia.

Permítanme explicar cómo estas variables diferentes se relacionan con el mismo concepto de la distancia. Sin ningún misterio, todos podemos intuir que la distancia es, según el Diccionario de Oxford, el espacio entre dos objetos. Ahora, ¿qué ocurre si esa distancia cambia con el tiempo? Esta pregunta puede parecer un poco fuera de contexto, ¿por qué nos interesa saber si la distancia cambia con el tiempo?, es porque esta respuesta nos dará información sobre si el objeto de estudio se esta moviendo o no.

¿Por qué nos interesarían los objetos estáticos? ¿Qué misterio queda en algo que permanece igual con el tiempo? La parte interesante surge cuando los objetos se mueven, cuando cambian. ¿Por qué? Porque podemos usar este comportamiento para predecir el futuro, y el pasado del objeto, y esto se puede extender a la practicidad de todo tipo de cosas con objetos en movimiento, como el momento o trabajo.

Explicada esta breve idea de por qué los objetos en movimiento son importantes, continuemos con el tema central. Estamos entonces discutiendo el “cambio de distancia en el tiempo” (o el cambio de un objeto en otra unidad diferente del tiempo, recomiendo leer el siguiente artículo CONVERSIÓN DE UNIDADES - TIEMPO para entender de lo que estoy hablando y obtener una comprensión más profunda de las unidades de medida), que es esencialmente la medida de cuán lejos nos podríamos desplazar después de un cierto intervalo de tiempo. Este concepto nos lleva a la velocidad, cuya unidad es m/s. Además, si esta velocidad también cambia con el tiempo, es decir, la tasa de cambio de velocidad no es constante, entonces estamos tratando con la aceleración, medida en unidades de m/s².

Aplicación --> Predicción del comportamiento futuro y comprensión de eventos pasados.

No tiene sentido observar objetos en un instante momentáneo; cuando estudiamos un fenómeno, queremos observar su evolución con el tiempo, comparándolo con otros factores (como se menciona en el artículo sobre unidades de medida y puntos de referencia). En la mayoría de los escenarios científicos, estudiamos cómo un objeto evoluciona con el tiempo, observando sus diferentes fases dentro de un intervalo de tiempo. Por ejemplo, si estoy estudiando el movimiento de la luna alrededor de la Tierra y mido su distancia desde un cierto punto a lo largo del tiempo, puedo deducir cuánto se mueve la luna dentro de un intervalo de tiempo específico. Estos datos son valiosos porque puedo extrapolarlos para predecir la posición futura de la luna o dónde estaba en el pasado.

Por lo tanto, la información sobre la distancia por sí sola no es suficiente para predecir ningún tipo de comportamiento; debemos estudiar el comportamiento del objeto en relación con el tiempo, o calcular lo que entendemos como “velocidad”. ¿Y por qué hacemos esto? Simplemente para determinar la distancia o posición del objeto en cualquier intervalo de tiempo. De manera similar, cuando discutimos la aceleración, es en última instancia para medir la distancia o posición. Por lo tanto, aunque podamos percibir la distancia, la velocidad y la aceleración como tres variables distintas, esencialmente están interconectadas, con la velocidad y la aceleración sirviendo como unidades que nos proporcionan la tasa de cambio en la distancia a lo largo de un intervalo de tiempo dado, pero que tiene como objetivo ayudarnos en última instancia a determinar la posición.

¿Cómo determinamos esa posición? Si conocemos la velocidad y queremos saber la posición en un cierto intervalo de tiempo, multiplicamos esa velocidad por el intervalo de tiempo de interés, y luego obtenemos el valor de la posición.

Ahora que hemos introducido el tema, exploremos algunos escenarios para comprender mejor la relación entre distancia, velocidad y aceleración.

 

Primer escenario:

Tenemos un objeto estático. Si hacemos un gráfico de distancia versus tiempo, se verá así:

El eje y representa la distancia y el eje-x representa el tiempo. Vemos una línea horizontal. ¿Qué ocurre si intentamos calcular la tasa de cambio de la distancia en el tiempo? En otras palabras, ¿cuál sería la pendiente?

En primer lugar, aclaremos qué representa la pendiente:

La pendiente indica la tasa de cambio; específicamente, cuánto se recorre en un intervalo de tiempo dado. Este concepto es crucial ya que proporciona información sobre el movimiento del objeto. Cuando dividimos la distancia por el tiempo, obtenemos la velocidad, medida en unidades de m/s. Por lo tanto, en un gráfico de distancia versus tiempo, la pendiente corresponde directamente a la velocidad.

Ahora, regresando al escenario inicial que presenta una línea horizontal:

Al analizarlo, observamos que la distancia permanece constante a lo largo de todos los intervalos de tiempo. En consecuencia, el objeto mantiene su posición sin ningún desplazamiento, lo que indica una velocidad nula. Esta observación se alinea con nuestro cálculo utilizando la fórmula de la pendiente.

Entonces, volviendo al primer escenario, tenemos una línea horizontal:

Como se ha demostrado, independientemente del intervalo de tiempo elegido, la velocidad sigue siendo cero. Por lo tanto, en el primer escenario, nos encontramos con un objeto estático con velocidad nula.

 

Segundo escenario:

Veamos ahora este gráfico de distancia en función del tiempo:

El eje-y representa la distancia, y el eje-x representa el tiempo. Podemos ver que ahora la posición del objeto está cambiando con el tiempo; está aumentando. Entonces, a primera vista, podemos ver que, si el objeto está cambiando su posición, esto significa que hay una tasa de cambio, o, en otras palabras, debe haber una pendiente o una velocidad.

Si calculamos la pendiente de este escenario, obtenemos:

Ahora vemos que la pendiente no es cero, y tiene sentido porque para que el objeto se mueva, necesita una velocidad. En este caso, nos estamos moviendo a 1 m/s.

Ahora, profundicemos en otro análisis. Considerando que el gráfico inicial muestra la distancia en función del tiempo, exploremos un gráfico que ilustre la velocidad en función del tiempo. ¿Qué revelaría este gráfico? Al examinarlo, observamos que la velocidad permanece constante a lo largo de todos los intervalos de tiempo. Calcular la pendiente en cualquier punto del gráfico arroja consistentemente un valor de 1 m/s. Por lo tanto, podemos deducir que la velocidad permanece invariable a lo largo de todo el período de tiempo.

Esta constancia en la velocidad significa que el objeto mantiene un ritmo constante con el tiempo. En consecuencia, un gráfico que represente la velocidad en función del tiempo se mostraría como una línea horizontal, indicativa de la velocidad constante observada. A continuación, se muestra una ilustración de cómo se vería un gráfico de este tipo:

Como podemos ver, el gráfico es una línea horizontal, lo que significa que siempre tendremos una velocidad de 1 m/s en todos los intervalos de tiempo; la velocidad es constante. Por lo tanto, cuando tenemos un objeto que se mueve a una velocidad constante, obtenemos estos gráficos:

Ambos gráficos son diferentes, pero brindan información sobre el mismo objeto. Un gráfico es el estudio de la distancia versus el tiempo, mientras que el otro gráfico es la velocidad en función del tiempo. Ahora te puedes preguntar, si podemos hacer un gráfico de la pendiente del gráfico de distancia versus tiempo y obtener un nuevo gráfico donde vemos la velocidad, ¿podemos hacer lo mismo con el gráfico de velocidad? ¿Podemos hacer otro gráfico con la taza de cambio de la velocidad, es decir, la pendiente del gráfico de velocidad? ¡Claro que podemos! Esa pendiente será la aceleración, y será el tercer escenario.

Tercer escenario:

Habiendo explorado los gráficos de un objeto estático y uno que se mueve a velocidad constante, profundicemos en el gráfico de un objeto que experimenta una velocidad no constante, es decir, cuya velocidad también está cambiando con el tiempo.

En este escenario, el gráfico de distancia versus tiempo no puede mantener una línea horizontal constante, ni puede seguir siendo una línea recta, ya que la velocidad del objeto varía. ¿Cómo se ve la grafica de distancia versus tiempo de un objeto con velocidad cambiante? La gráfica luce de la siguiente manera:

Como se evidencia en el gráfico, calcular la velocidad o la pendiente en diferentes puntos arroja valores variables debido a que la velocidad no es constante. En consecuencia, la distancia recorrida también fluctúa con el tiempo, reflejando la naturaleza cuadratica del movimiento del objeto.

Puedes elegir diferentes puntos y descubrir que la pendiente de este gráfico está cambiando. Recuerda que la pendiente de un gráfico de distancia versus tiempo es la velocidad; por lo tanto, la velocidad no es la misma en cada punto. Ahora, veamos cómo se ve este gráfico de velocidad en función del tiempo:

Al examinar el gráfico que representa la velocidad en función del tiempo, notamos un aumento lineal en la velocidad, lo que indica un cambio en la velocidad con el tiempo. Pero ¿qué significa la pendiente de este gráfico velocidad versus tiempo? Como muchos de ustedes pueden intuir, la tasa de cambio de la velocidad corresponde a la aceleración. Por lo tanto, la pendiente de un gráfico de velocidad versus tiempo representa la aceleración. En este escenario, la aceleración permanece constante, como lo demuestran los valores de pendiente consistentes a lo largo del gráfico.

Constantemente, en cada punto del gráfico, la pendiente calculada arroja el mismo valor de 2 m/s², confirmando la constancia de la aceleración a lo largo del tiempo. Con esta comprensión, visualicemos el gráfico de aceleración en función del tiempo, que se vería así:

Lo cual tiene sentido ahora, ya que sabemos que la aceleración es constante. Por lo tanto, será la misma en todos los intervalos de tiempo, por lo que será una línea horizontal. Y si intentamos calcular la pendiente de este gráfico de aceleración en función del tiempo, obtendremos cero porque no está cambiando.

Por lo tanto, en un objeto que se mueve con aceleración constante, la distancia no es la misma en todos los intervalos de tiempo. Para ser precisos, el comportamiento será cuadrático, mientras que la velocidad también está cambiando, pero a una tasa constante. Por lo tanto, se comportará como un gráfico lineal, y la tasa de cambio de la velocidad, o la pendiente de la velocidad, no está cambiando en absoluto, por lo que la aceleración es constante y, por lo tanto, forma una línea horizontal.

Resumen de Gráficos y Relaciones de Pendiente:

-  Gráfico de Distancia versus Tiempo: es (m/s), la pendiente es la Velocidad.

-  Gráfico de Velocidad versus Tiempo: es [(m/s)/s] o (m/s²), la pendiente es la  Aceleración.

- Gráfico de Aceleración versus Tiempo: es [(m/s²)/s] o (m/s³), la pendiente es el cambio de aceleración en función del tiempo, pero no vamos a hablar de eso en esta publicación, ya que en el tercer escenario estábamos tratando con una aceleración constante.