Y para continuar con el tema de proporciones y razones, debemos ahora dar inicio a la explicación de las razones geométricas o por cociente, pero primero haciendo una pequeña recapitulación sobre que es una proporción.
Sabemos que una razón es el resultado de comparar dos cantidades, esta puede ser conociendo que tan grande o pequeña es una cantidad con respecto a otra por medio una resta, y es llamada razón aritmética, o también se puede comparar dos cantidades hallando cuantas veces una cantidad contiene a la otra efectuando una división, y esta situación es conocida como razón geométrica.
La razón geométrica la podemos hallar escrita de dos maneras, en forma de quebrado; separando el numerador y denominador con una linea horizontal, o separadas por el símbolo de división (÷), por lo tanto, la razón geométrica de 8 a 4 se puede escribir como (8/4) o (8 ÷ 4), y se puede leer como “8 es a 4”, donde el numerador es el antecedente y el denominador el consecuente, y donde el resultado obtenido de la división indica la cantidad de veces que el consecuente cabe en el antecedente, por ejemplo, si tuviéramos dos paralelogramos, el rectángulo A con una área de (8 m), y un cuadrado B con un área de (4 m).
Si quisiéramos hallar la proporción entre estas dos áreas tendríamos que:
- Cuando el área del rectángulo A (8 m) es el antecedente y el área del cuadrado B (4 m) el consecuente:
Si estas dos áreas las dividimos obtenemos el número (2) como resultado, y esto significa que el área del cuadrado B cabe dos veces en el área del rectángulo A.
- Cuando el área del cuadrado B (4 m) es el antecedente, y el área del rectángulo A (8 m) es el consecuente:
Efectuando la división obtenemos como resultado el número (0.5), y este número nos indica la cantidad de veces que el área del rectángulo A cabe en el área del cuadrado B, es decir, el rectángulo A (8 m) cabe “0.5” veces en el cuadrado B (4 m).
Este tipo de operaciones también se puede utilizar si desearamos saber que tan grande o pequeño es un grupo con respecto a otro grupo, y que a diferencia de la razón aritmética que nos arroja un resultado indicando la cantidad de unidades que es mayor o menor un grupo con respecto a otro, la razón geométrica no nos habla de unidades mayor o menor, sino de “cuantas veces es mayor o menor”, como por ejemplo, si dijieramos que tenemos dos canastas, una con 8 bananas, y otra canasta con 4 mangos, y quisiéramos saber cuantas veces un grupo contiene al otro podríamos obtener dos interpretaciones distintas.
- Cuando las 8 bananas son el antecedente y los 4 mangos el consecuente:
Donde el resultado de la división es (2), de aqui se puede entender que el número de bananas es el doble que el número de mangos.
Las bananas que tengo son dos veces el número de mangos, y si multiplico el número de mangos por (2), obtengo el número de bananas que tengo.
- Cuando los 4 mangos son el antecedente y las 8 bananas el consecuente:
Aquí el resultado es (0.5), y esto significa que el número de mangos es solo la mitad del numero de bananas.
Los mangos que tengo es solo la mitad del número de bananas, y si multiplico por (0.5) el número de bananas obtengo el número de mangos que tengo.
Y al contrario de la razón aritmética, que si comparamos las 8 bananas con los 4 mangos, por medio de la diferencia o resta obtendríamos un resultado de 4 unidades, y donde el resultado siempre seria el mismo pero orientado a objetos distintos, osea, “tengo 4 bananas mas que mangos” o “tengo 4 mangos menos que las bananas” en ambos casos tengo “4 mas o 4 menos”, mientras que en la razón geométrica se dice “tengo el doble de mangos” o “tengo la mitad de bananas”
Aclarado el punto anterior sigamos con las propiedades de las razones geométricas.
¿Pero que pasa cuando modificamos estas cantidades multiplicándolas o dividiéndolas por otros valores?
Retomando el ejemplo anterior, tenemos un rectángulo A de área (8 m), y un cuadrado B de área (4 m).
- Multiplicamos por (3) o dividimos por (2) al antecedente:
Primer Caso - Multiplicamos por (3) el antecedente:
Multiplicar el área del rectángulo A (8 m) por (3) nos incrementa su valor a un área de (24 m).
Por ende, ahora tenemos que hallar cuantas veces cabe el cuadrado B (4 m) en el nuevo rectángulo A obtenido de (24 m).
Donde el resultado es (6), y esto se entiende como que el cuadrado B de (4 m) cabe 6 veces en el área del rectángulo A de (24 m).
Y comparado con el caso anterior, cuando el rectángulo A era de (8 m) y que el cuadrado B de (4 m) cabía 2 veces, podemos ver que en este nuevo caso cuando aumentamos el área del rectángulo A a (24 m) la cantidad de veces que cabe el cuadrado B de (4 m) aumentó, esto ocurre porque ahora que el área del rectángulo A es mayor hay más espacio para que quepan mas cuadrados B, por lo tanto, es obvio que la cantidad de veces que ahora el cuadrado B de (4 m) cabe en el rectángulo A de (24 m) sea mayor. Llegando a deducir entonces que cuando multiplicamos el área del rectángulo A de (8 m) por (3), este incremento va a generar que la cantidad de veces que cabe el cuadrado B en el rectángulo A de (24 m) incremente tambien en ese mismo valor, es decir, 2 veces multiplicado por 3, dando el resultado ahora de (6).
1.a) Y con esto podemos concluir que cuando incrementamos el valor del antecedente (El valor del rectángulo A), también aumenta la razón (la cantidad de veces que cabe el cuadrado B, en el rectángulo A) en el mismo valor.
Segundo Caso - Dividimos por (2) el antecedente:
Dividir el área del rectángulo A (8 m) por (2) nos reduce su valor a un área de (4 m).
Por consiguiente, ahora tenemos que hallar cuantas veces cabe el cuadrado B (4 m) en el nuevo rectángulo A obtenido de (4 m).
Donde el resultado es (1), y esto se entiende como que el cuadrado B de (4 m) cabe 1 vez en el área del rectángulo A de (4 m).
Y en contraste con el caso anterior, cuando el rectángulo A era de (8 m) y el cuadrado B de (4 m), este cabía 2 veces, pero en esta nueva situación donde disminuimos el área del rectángulo A a (4 m) la cantidad de veces que ahora va a caber el cuadrado B de (4 m) va a ser menor, debido a que el área del rectángulo A al ser menor, este podra contener menos cantidad de veces al cuadrado B, por lo tanto, resulta que cuando dividimos el rectángulo A de (8 m) por (2), la disminución del área del rectángulo A a ( 4 m) va a disminuir tambien la cantidad de veces que cabe el cuadrado B por el mismo valor, osea, 2 veces dividido por 2, y obtenemos el resultado de (1).
1.b) Podemos resumir que cuando disminuimos el valor del antecedente (El valor del rectángulo A), también disminuye la razón (la cantidad de veces que cabe el cuadrado B, en el rectángulo A) en el mismo valor.
- Multiplicamos por (4) o dividimos por (2) el consecuente:
Primer Caso - Multiplicamos por (4) el consecuente:
Multiplicar el área del cuadrado B (4 m) por (4) nos incrementa su valor a un área de (16 m).
Ahora corresponde hallar cuantas veces cabe el nuevo cuadrado B (16 m) en el rectángulo A de (8 m).
Donde el resultado es (0.5), y esto se entiende como que el cuadrado B de (16 m) cabe 0.5 veces en el área del rectángulo A de (8 m), osea, solo cabe la mitad del cuadrado B (16 m) en el rectángulo A (8 m).
A diferencia del caso anterior, donde el cuadrado B era de (4 m) y cabía 2 veces en el rectángulo A de (8 m), en este nuevo caso podemos ver que cuando incrementamos el valor del cuadrado B a (16 m), la cantidad de veces que ahora este cabe en el rectángulo A de (8 m) disminuye, esto ocurre porque ahora es mas grande el área del cuadrado B que vamos a intentar "ingresar" a la primera área del rectángulo A, es decir, tomaremos mas espacio del que inicialmente tomábamos, resultando asi que el número de veces que ahora este cabe en el rectángulo A, evidentemente sea menor. Pudiendo así decir que cuando multiplicamos el area del cuadrado B de (4 m) por (4), este incremento va a disminuir la cantidad de veces que cabe el cuadrado B de (16 m) en el rectángulo A por el mismo valor de 4, osea, 2 veces se divide por 4, y el resultado es (0.5).
2.a) Y con esto podemos concluir que cuando incrementamos el valor del consecuente (El valor del cuadrado B), va a disminuir la razón (la cantidad de veces que cabe el cuadrado B, en el rectángulo A) en el mismo valor.
Segundo Caso - Dividimos por (2) el consecuente:
Dividir el área del cuadrado B (4 m) por (2) nos disminuira su valor a un área de (2 m).
Ahora corresponde hallar cuantas veces cabe el nuevo cuadrado B (2 m) en el rectángulo A de (8 m).
Aquí el resultado es (4), y esto significa que el nuevo cuadrado B de (2 m) cabe 4 veces en el área del rectángulo A de (8 m).
Recordando el caso anterior, en el cual obtenemos que el cuadrado B de (4 m) cabe 2 veces en el rectángulo A de (8 m), podemos notar que en este nuevo ejemplo que en consecuencia de disminuir el área del cuadrado B a (2 m), la cantidad de veces que este podrá ocupar el área del rectángulo A de (8 m) sera mayor, y esto es lógico ya que estamos reduciendo el área que abarca el cuadrado B que estamos "ingresando" en el rectángulo A, por lo tanto, debido a que su área es mas pequeña vamos a necesitar mas cuadrados B para poder repartirlos por toda el área del rectángulo A. Resultando así que, cuando dividimos el área del cuadrado B de (4 m) por (2), esta disminución va a aumentar la cantidad de veces que el cuadrado B de (2 m) pueda entrar en el área de rectángulo A en el mismo valor de 2, es decir, 2 veces se multiplica por (2), y el nuevo resultado es de (4).
2.b) Concluyendo asi, que cuando disminuimos el valor del consecuente (El valor del cuadrado B), va a aumentar la razón (la cantidad de veces que cabe el cuadrado B, en el rectángulo A) en el mismo valor.
- Multiplicamos por (3) el antecedente y consecuente, o dividimos por (2) el antecedente y consecuente:
Primer Caso - Multiplicamos por (3) el antecedente y el consecuente:
Multiplicar el área del rectángulo A y del cuadrado B por (3) nos incrementa el valor de sus áreas, quedando el área del rectángulo A en (24 m), y la del cuadrado B en (12 m).
Ahora tenemos que hallar cuantas veces cabe el nuevo cuadrado B (12 m) en el nuevo rectángulo A de (24 m).
Donde el resultado es (2), y esto se entiende como que el cuadrado B de (12 m) cabe 2 veces en el área del rectángulo A de (24 m).
Si recordamos el ejemplo anterior, en donde teníamos el cuadrado B de (4 m) y el rectángulo A de (8 m) y el resultado de veces que cabe el cuadrado B en el rectángulo A era de 2 veces, podemos percatarnos que este nuevo ejemplo nos da el mismo valor, y esto se debe a que estamos modificando las dos áreas en un mismo valor, haciendo que la proporción entre ambas se mantenga constante, ya que si aumento el área del rectángulo voy a tener mas espacio que poder tomar, pero a la vez también aumento el área del cuadrado B, haciendo que también tome más espacio del que tomaba antes, y como los dos incrementos ocurren en el mismo valor, podemos deducir que la proporción entre ambas seguirá siendo la misma.
3.a) Se concluye que cuando aumentamos el antecedente (el valor del rectángulo A), y el del consecuente (el valor del cuadrado B) en un mismo valor, obtendremos que la razón (la cantidad de veces que cabe el cuadrado B, en el rectángulo A) va a seguir siendo la misma.
Segundo Caso - Dividimos por (2) el antecedente y el consecuente:
Dividir el área del rectángulo A y del cuadrado B por (2) nos disminuirá el valor de sus áreas, donde el rectángulo A es (4 m), y el cuadrado B es (2 m).
Procedemos a hallar cuantas veces cabe el nuevo cuadrado B (2 m) en el nuevo rectángulo A de (4 m).
Donde el resultado es (2), y esto se entiende como que el cuadrado B de (2 m) cabe 2 veces en el área del rectángulo A de (4 m).
Aquí ocurre exactamente lo mismo que en el primer caso, cuando tenemos que cuando el cuadrado B de (4 m) cabe 2 veces en el rectángulo A de (8 m), y estos valores del cuadrado B y del rectángulo A los dividimos por un mismo número, obtenemos que el área va a disminuir en la misma proporcion en ambas áreas, y es predecible, ya que estamos reduciendo la cantidad de espacio que se puede ocupar en el rectángulo A, pero tambien estamos disminuyendo el área del cuadrado que vamos a "ingresar" en el rectángulo en la misma proporción que estamos disminuyendo el área del rectángulo A, resultando que la cantidad de veces que va a caber el cuadrado B de (2 m) en el rectángulo A de (4 m) se mantenga igual.
3.b) En conclusión, cuando disminuimos el antecedente (el valor del rectángulo A), y el del consecuente (el valor del cuadrado B) en un mismo valor, obtendremos que la razón (la cantidad de veces que cabe el cuadrado B, en el rectángulo A) va a seguir siendo la misma.
- (PLUS) Multiplicamos o dividimos por números distintos, por (3) al antecedente y por (2) consecuente:
En este caso, cuando multiplicamos o dividimos el antecedente y el consecuente por valores distinto, el valor de la razón se va a ver afectado de manera independiente por cada una de estas modificaciones siguiendo los análisis que vimos en los casos anteriores, como seria el ejemplo de que si multiplicara el
antecedente por (3), pero luego multiplicara también el consecuente por (2), sabemos que si aumentamos el antecedente, la razón aumenta, pero si aumentamos el consecuente, la razón disminuye, por ende, el resultado final va a ser el resultado de multiplicarlo por (3) y luego dividirlo por (2). O al contrario, si aumentáramos el antecedente por (3) y disminuyéramos el consecuente por (2), sabemos que si aumenta el antecedente, la razón también aumenta, y que si disminuimos el consecuente, la razón también aumenta, por lo tanto el resultado tendría que ser multiplicado por (3) y luego por (2). Y así para cada una de las distintas variaciones que podamos encontrar de ejemplos de este tipo.
Y luego de haber visto todos los casos anteriores, podemos finalizar recapitulando las propiedades de las razones geométricas:
1) Si el antecedente de una razón geométrica se multiplica o divide entre un número, la razón queda multiplicada o dividida entre ese número.
2) Si el consecuente de una razón geométrica se multiplica o divide entre un número, la razón queda dividida en el primer caso y multiplicada en el segundo por ese mismo numero.
3) Si el antecedente y el consecuente de una razón geométrica se multiplican o divide entre un mismo número, la razón no varia.
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