Las razones y proporciones son un elemento fundamental para entender varios conceptos del campo de la ciencia, y también para realizar análisis mas profundos y significativos aplicado a soluciones de problemas de cualquier índole.
Podemos entender las razones como una relación, es una comparación que se hace entre dos cantidades. Y esta comparación se puede hacer para dos casos distintos; ya sea hallando la cantidad de veces que una cantidad es mayor que la otra, llamada razón aritmética (o por diferencia), y también se puede comparar la cantidad de veces que una contiene a la otra, llamada razón geométrica (o por cociente).
Razón aritmética – Diferencia
La razón aritmética, o también llamada razón por diferencia es el método que se aplica para conocer la proporción en que una cantidad es mayor que la otra, y su notación se puede representar de dos modos; separando las dos cantidades con el signo ( - ) de la resta, o con un punto ( . ). Por lo tanto, si tenemos la razón aritmética de 6 a 4 se puede escribir como 6 – 4, o como 6.4, y se lee “seis a cuatro”. Y su propósito es comparar dos cantidades, indicando que tan grande es un elemento del otro elemento.
Viendo el ejemplo anterior podemos resaltar los siguientes aspectos:
1) El número de peras es mayor que el número de manzanas en una razón de 2.
2) El número de manzanas es menor al número de peras en una razón de 2.
¿Pero que pasa cuando modificamos estas cantidades, sumando o restando valores?
Para poder dar inicio a estas explicaciones necesitaremos primero diferenciar una cantidad de la otra, así que el nombre que le colocaremos a cada termino será; antecedente para el primero y consecuente para el segundo. Por lo tanto, trabajando con la proporción de 6 peras a 4 manzanas, tendremos que: las 6 peras será el antecedente, y las 4 manzanas el consecuente.
Después de diferenciar estas dos cantidades podemos proseguir con los siguientes ejemplos:
-Sumamos (o restamos) 2 peras al antecedente:
Nos podemos dar cuenta que la variacion en la proporción de ambos casos depende del número en que aumentamos o disminuimos el antecedente. Como al inicio le sumamos 2 al antecedente, la razón aumentó en 2, mientras que cuando le restamos 2 la razón disminuyó 2.
-Sumamos (restamos) 1 manzana al consecuente:
Al contrario que en el primer caso, que cuando le sumamos o restamos al antecedente el número aumenta o disminuye en ese valor. En este caso ocurre lo contrario, cuando le sumamos un valor al consecuente, la razón va a disminuir, por eso cuando le sumamos 1 la razón paso de ser 2, a ser 1, y cuando le restamos 1, la razón dejó de ser 2, a ser 3.
Esto es un resultado obvio, debido a que es el consecuente es el valor que disminuye la proporción, por ende, si disminuyo el valor que va a disminuir el resultado de esa resta sera mayor, ya que el número que disminuía la razón, ahora es menor. Y también al contrario, si aumento el valor que disminuye, le estaré restando más, por ende, la razón va a disminuir.
Algunos podrían pensar que indicarlos como antecedente o consecuente es irrelevante, y que son cosas que son obvias cuando se habla de un número mayor y otro menor, sin embargo, si intercambiáramos el orden de estos, como podria ser ahora 4 como el antecedente y el 6 el consecuente, nos daríamos cuenta que se sigue aplicando el mismo análisis.
Veamos primero cual es la proporción inicial, y veremos como va cambiando la razón a medida que aumentamos y disminuimos el antecedente y el consecuente:
-Aumentando el antecedente en 1 unidad:
Podemos ver cuando aumentamos el antecedente, la razón también aumenta, siguiendo asi el mismo análisis explicado anteriormente.
Ya que recordemos que -1 es mayor que -2, esto es debido a que -1 esta más cerca de 0, que el -2. Por lo tanto el resultado obtenido es mayor que el anterior.
-Disminuyendo el antecedente en 1 unidad:
Ahora aquí vemos que al disminuir el antecedente, la razón también disminuye, ya que -3 es menor que -2.
-Aumentando el consecuente en 2 unidades:
Ahora observamos que al aumentar el consecuente el valor de la razón hace lo opuesto, el -4 es menor que -2, es decir, la razón disminuyó, esto se debe a que aumentamos la cantidad que se le va a restar al antecedente, haciendo que la razón sea menor.
-Disminuyendo el consecuente en 3 unidades:
Al disminuir el consecuente, estamos reduciendo el valor que le vamos a restar al antecedente, por lo tanto, la razón sera menor, como en este caso donde 1 es evidentemente mayor que -2.
Ya que recordemos que es una proporción, y el análisis va mas allá que simplemente efectuar una resta, estamos comparando que tan grande o pequeño es un numero con respecto al otro. Por eso a pesar de que el antecedente es menor que el consecuente se sigue cumpliendo esta regla, demostrando así que eso no depende de si el número es mayor o menor.
-Sumamos 2 peras al antecedente y 3 manzanas al consecuente:
Podemos ver que al sumar 3 al antecedente, y 2 al consecuente hay una diferencia de 1 unidad, por lo tanto, la razón va a aumentar según la diferencia de las unidades que les sume al antecedente y al consecuente, que en este caso como sumamos 3 y 2, la diferencia de los dos es 1, por los tanto, la proporción aumentara en 1 unidad.
Recordemos el siguiente caso:
-Ahora sumemos unidades distintas al antecedente y consecuente:
Vemos que la proporción resultante ahora es 1, y podemos predecir esta variación si restamos los valores que inicialmente le sumamos, que fueron 4 y 1, cuando restamos 4 – 1, nos da una diferencia de 3, y es exactamente el valor que aumentó desde -2 a 1.
-Sumamos 3 peras al antecedente y 3 manzanas al consecuente:
En el ejemplo anterior decimos que la proporción entre estos dos elementos es 2, y se puede concluir qu si aumentamos o disminuimos el número de peras y manzanas en un mismo valor nos daremos cuenta que la diferencia entre estas dos cantidades sera siempre la misma.
Luego de haber visto los ejemplos anteriores podemos mencionar las propiedades de las razones aritméticas:
1) Si el antecedente de una razón aritmética se suma o resta un número, la razón queda aumentada o disminuida en ese número.
2) Si al consecuente de una razón aritmética se suma o resta un número, la razón queda disminuida en el primer caso en el mismo valor que se le sumo, y aumentada en el segundo caso y al mismo valor que se le resto.
3) Si al antecedente y consecuente de una razón aritmética se suma o resta un mismo número, la razón no varia.
Recordemos que una proporción no es una resta convencional, ya que no podemos restar peras y manzanas, ya que son elementos distintos, entonces no es una resta, sino una comparación para determinar cuantas manzanas o peras tengo más o menos con respecto al otro elemento, y que este análisis se puede hacer ejecutando una resta, PERO NO ES EL MISMO ANÁLISIS, no estoy disminuyendo nada, solo estoy COMPARANDO que tan grande es un elemento en contraste al otro.
Por lo tanto, una razón o proporción solo tiene sentido cuando se habla de dos cantidades, ya que por si solo si dijera que “tengo 3 manzanas más” no tiene ningún significado, ¿ya que tengo 3 manzanas mas con respecto a que?, y conociendo esta información tenemos acceso a la resolución de cierto tipo de ejercicios.
Ejemplo:
Si tenemos 11 naranjas, y sabemos que tenemos 3 manzanas menos con respecto a las naranjas. Determine el número de manzanas.
Este tipo de ejercicio tiene una resolución bastante sencilla, ya que ya sabemos cuantas naranjas tenemos, que son 11, y sabemos la diferencia que hay entre naranjas y manzanas, por lo tanto podemos obtener el numero ( x ) de manzanas que cuando se le suma 3 unidades, y se le compara con las 11 naranjas nos da que la razón entre estos dos elementos es 3. Esto lo podemos ver claramente en la siguiente ecuación:
11 Naranjas - X Manzanas = 3 (Naranjas.Manzanas) ; Despejamos
11 – 3 = X ; Restamos las 11 Naranjas
x = 8 ; Obtenemos el número de Manzanas
El valor ( x ) de manzanas, que tiene 3 manzanas menos con respecto a las 11 naranjas es 8. Y lo podemos ver si le quitamos 3 naranjas a las 11 naranjas, tenemos el mismo número de manzanas y de naranjas, y también si le sumáramos 3 manzanas mas a las 8 manzanas, tendríamos 11 manzanas igual que las 11 naranjas.
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