REGLA DE LOS SIGNOS - ¿POR QUÉ MENOS POR MENOS ES MAS?

Para entender la explicación que daré en este articulo les recomiendo visitar otro artículo de mi blog NÚMEROS NEGATIVOS que servirá como tema de base para entender muchas de las referencias y explicaciones que encontraran aquí. 

La mayoría de nosotros conocemos la multiplicación de los signos como aquella regla que nos enseñaron sin mucha más explicación que simplemente memorizarla, sin embargo, esta ley tan fundamental del algebra tiene raíces bastante interesantes. Hablaremos un poco de sus comienzos, como funciona y concluiremos con la explicación de cada una de las multiplicaciones. 

Los números con signos fueron utilizados por pobladores chinos desde el año 400 a. C, su principal utilidad era representar compras y ventas, utilizaban palillos rojos para representar los números positivos y palillos de color negro para los negativos, y su aceptación solo abarcaba en el ámbito de soluciones de ecuaciones, y las soluciones que conllevaban una “multiplicación” como modernamente la conocemos eran trabajadas como repeticiones de sumas y/o restas, sin embargo aún no se hablaba de alguna regla de los signos. 

Al igual que los babilonios, egipcios y griegos que, de hecho, no trabajaron con números negativos debido a que su matemática se basaba en aspectos geométricos, dificultando así la aceptación de los números negativos en esa época. Por lo tanto, durante este periodo solo se reconoce el uso de números negativos a los pobladores chinos, y con usos bastante específicos. 

En la actualidad es complicado explicar el motivo de porque menos por menos es más, sin embargo en la antigüedad no era diferente, esto se debe a que desde un comienzo los números negativos no eran considerados números “reales”, tomo mucho tiempo para que estos fueran tomados más allá que un número absurdo como los definía Michael Stifel en su obra Arithmetica integra. 

Los números negativos fueron rechazados por mucho tiempo, como Diofanto en el siglo III que no les daba el estatus de “número” a los números negativos, de hecho, el negaba las soluciones de ecuaciones de este tipo x + 6 = 0 porque no las consideraba resolubles, por lo tanto, solo desarrollo vagamente la siguiente idea: 

Lo que es lo que falta multiplicado por lo que es lo que falta da lo que es positivo; mientras que lo que es lo que falta multiplicado por lo que es positivo, da lo que es lo que falta. 

En sentido general aun en este periodo no se aceptaban los números negativos, pero se tenía un mayor dominio sobre estos, como los indios en el año 568-670 donde Brahmagupta era considerado el más grande de los matemáticos de esa época debido a su creación de su obra Brahma-sphuta-siddhanta Donde consideró los números negativos y el cero por primera vez (y entre muchos otros temas), y a los que él llamaba las deudas y la nada. 

Pero aún no existía una regla de los signos como tal, lo único más cercano era el enunciado de Diofanto en el siglo III (libro I), pero eran expuestos sin demostraciones ya que en ese periodo la demostración no era un elemento fundamental de las matemáticas. 

Por otra parte, no fue sino hasta el Renacimiento cuando se usó plenamente la noción de número negativo, donde comprendió desde el siglo XV hasta la actualidad. Donde matemáticos famosos como Simon Stevin (1548-1620), que aceptaba las raíces negativas de una ecuación, por lo que utilizó números positivos y negativos como coeficientes de una ecuación; por su parte, Leonardo Euler (1707-1783) fue el primero en darles estatuto legal a los números negativos; y otros matemáticos como Pierre-Simon Laplace (1749-1827) interpretaban los números negativos como deudas. 

Cada uno desarrolló diferentes demostraciones para la regla de porque menos por menos es más, estas estas variaban desde una doble comprobación hasta a una demostración geométrica. Pero en general se pueden mencionar las siguientes: 

La regla sin justificación 

- Diofanto (siglo III) 

La justificación de la regla en el marco de las restas indicadas con solución positiva 

- La justificación por doble comprobación, de Stevin (1540-1620) 

La justificación de la regla en el marco de las cantidades negativas aisladas 

- La justificación por eliminación, de Euler (1707-1783) 

- La justificación en coherencia con la propiedad distributiva, de Mac-Laurin (1698-1746) 

- La justificación en coherencia con la propiedad distributiva, de Laplace (1749-1827) 

- La justificación a partir de la definición de producto de los signos, de Cauchy (1789-1857) 

- La justificación desde la definición del producto por un número negativo, de Wentworth y Smith (1900) 

- La justificación en coherencia con la propiedad distributiva, sin hacer ninguna suposición acerca de qué cosa son los números negativos Crowley y Dunn (1985) 

La justificación de la regla en el marco en el que se rehuyen las cantidades negativas aisladas 

- La justificación a partir de la definición de multiplicación por negativo, de D’Alembert (1717-1783) 

- La justificación a partir de la definición de multiplicación por negativo, de Lacroix (1766-1846) 

- La justificación a partir de la definición de multiplicación algebraica, de Vallejo (1779-1846) 

La justificación de la regla en el marco de la teoría de pares ordenados 

- Didáctica de las matemáticas, Roanes (1976, p. 274-293) 

La justificación de la regla en el marco de las modelizaciones intuitivas 

- La justificación desde la modelización geométrica sobre rectángulos de Klein Klein, en Matemática elemental desde un punto de vista superior (1908) 

- La justificación desde la modelización física sobre desplazamientos, de Rey Pastor y Puig Adam Rey Pastor y Puig Adam, en Nociones de álgebra y trigonometría (1946 p. 19 y 20) 

- La justificación desde la modelización geométrica sobre la línea numérica, de “El obrero mecánico” 

- La justificación desde la modelización numérica Crowley y Dunn (1985) 

¿Es sorprendente no?, la cantidad de justificaciones existentes a la regla de los signos, algo que a simple vista parece sencillo, pero que realmente ha sido un dolor de cabeza para muchos matemáticos durante varios años. 

Si quieres estudiar algún método en específico (o todos) te dejo la fuente donde los conseguí, CAPÍTULO 18 LA JUSTIFICACIÓN DE LA REGLA DE LOS SIGNOS EN LOS LIBROS DE TEXTO: ¿POR QUÉ MENOS POR MENOS ES MÁS? (https://www.uv.es/gomezb/4Lajustificaciondeladeregla.pdf). Ya que en este artículo en especial nos enfocaremos en otra explicación. 

Para iniciar con esta explicación primero debemos hacer un pequeño resumen sobre los números negativos, primeramente distinguiremos los números negativos de la operación aritmética de sustracción o resta, ya que se suele denominar a todo número o letra que está acompañado por un signo (-) como una “resta”, idea que está bastante alejado de la realidad. 

Los números negativos, o los números con signo nacen de la necesidad de querer diferenciar magnitudes que son iguales, pero difieren en grado, es decir, magnitudes opuestas, como hablar de izquierda y derecha, ambas son direcciones, pero cada una apunta en sentidos diferentes. Por lo tanto, se diferencian una de la otra con el uso de signos, como el positivo (+) para los desplazamientos hacia la derecha y el negativo (-) para los desplazamientos a la izquierda. Esta manera de asignar las cantidades positivas o negativas es completamente arbitraria, la derecha muy bien pudo haber sido denominada con los “valores negativos” y la izquierda con los “valores positivos” 

Esta nueva interpretación de las cantidades con signos se llamaría valores relativos, debido a que el signo no alteraba la magnitud que esa cantidad representaba, es decir, el signo no indicaba que un número fuera mayor que otro, sino que simplemente ambos representaban sentidos opuestos, así como la derecha y la izquierda, arriba y abajo, etc. 

Moverse 5 metros hacia arriba es igual de “grande” que moverse 5 metros hacia abajo, la única diferencia es que una cantidad se le coloca un signo (-) para indicar que va hacia abajo, y las que van hacia arriba se representan con signo (+), pero en ambas situaciones las distancias son iguales. Por esta razón se le llamó valor relativo, ya que, a pesar de que ambas a simple vista podrían parecer iguales, ahora con el uso de los signos se podrían diferenciar y operarse de manera distinta. 

Ahora debemos ir a la recta numérica, La recta real es un gráfico unidimensional que se extiende en dos sentidos, derecha e izquierda y que tienen un punto en común llamado origen. 

En esta recta podemos encontrar los números negativos y positivos, y en ella podemos encontrar una explicación más sencilla sobre que es una multiplicación; una multiplicación es una Operación aritmética que consiste en calcular el resultado (producto) de sumar un mismo número (multiplicando) tantas veces como indica otro número (multiplicador), es decir, es una suma simplificada. 

Por ejemplo, si tenemos (+2) x (+2) = 4, es equivalente a decir (+2)+ (+2) = 4, y lo podemos visualizar en la recta numérica. El signo (+) indica a la derecha, e igual significa “sumar” (según la relación que tenga con un numero en específico), por lo tanto, escribir +(+2) es igual a decir incrementar un numero positivo, o incrementar un movimiento a la derecha. Por lo tanto, +(+2)+(+2) se leería como incrementar 2 pasos a la derecha, y luego volver a incrementar 2 pasos a la derecha. Y se vería así: 

Fijémonos en esta diferencia del mismo signo, sobre cómo (+) significa tanto una operación aritmética y a la vez como una forma de indicar una dirección. Si fuera –(+2) se leería como disminuir un movimiento hacia la derecha, y si quisiéramos representar –(+2)-(+2) en la recta numérica se vería de la siguiente forma: 

disminuiríamos 4 pasos a la derecha, es decir, iríamos 4 pasos a la izquierda. 

De estos dos simples ejemplos podemos visualizar de manera mucho más sencilla las 3 de las 4 reglas de los signos. 

(+) x (+) = (+) 

(+) x (-) = (-)

(-) x (+) = (-)

(+) x (+): si tenemos (+3) x (+2) = (+6), es igual a +(+3)+(+3) = (+6), una suma repetitiva de (+3) según la cantidad que se me indica el otro número, ósea dos veces. También podría ser +(+2)+(+2)+(+2) = (+6), la cual ahora es una repetición de (+2) tres veces. 

Una multiplicación no son dos valores aparte que funcionan por separado, son un conjunto, la expresión A x B, nos indica el valor a repetir y la cantidad de repeticiones que hará el número, por lo tanto, uno depende del otro. Lo primero que pensamos de la multiplicación es que (+6) x (+3) son dos números diferentes, independientes uno del otro, y sin embargo esto no es así, la multiplicación es una simplificación de una suma o una resta, podemos decir que la multiplicación no es “dos números multiplicándose”, la multiplicación no es más que la repetición de un mismo número que se va a sumar o a restar a si mismo cierta cantidad de veces. 

(+) x (-): Si tenemos (+3) x (-2) = (-6), es igual a –(+3)-(+3) = (-6), vamos a disminuir 3 pasos de la derecha, es decir, vamos a restar (+3) la cantidad de veces que me indiquen, ósea dos veces. También puede ser –(+2)-(+2)-(+2) = (-6) que se estaría repitiendo la resta de (+2) tres veces. Y lo mismo se analiza para (-) x (+). 

Por lo tanto, podemos ver la diferencia entre ambas, cuando son números positivos que se suman, o números positivos que se restan, y que la diferencia de ambos depende del signo que compara a ambas operaciones, es decir, el signo que queda por fuera del paréntesis, ya que recordemos que estos signos se relacionan de manera diferente con el número, si tenemos +(+2). El + de color rojo indica la operación que se aplicará a la expresión (+2), mientras que el + de color negro dentro del paréntesis nos indica el valor relativo del número 2, ósea nos dirá que el número es positivo (que dependiendo de lo que estemos estudiamos significa 2 hacia abajo, hacia arriba, a la derecha o izquierda) Resultando así que se leería como “suma de un numero positivo”, o si fuera –(+2) resta de un numero positivo, y entendido esto, ¿Cómo sería la resta de un número negativo? 

Finalmente llegamos a la regla que nos faltaba y la razón por la que estamos aquí, (-) x (-), si tenemos (-3) x (-2), esto sería igual a –(-3)-(-3), ¿cuál sería el resultado?. Primero te daré la respuesta y luego analizaremos porque es la respuesta más sencilla y la mas completa. 

Si disminuimos un movimiento a la izquierda, ¿a dónde nos dirigimos?... pues sí, a la derecha, y si lo vemos desde una perspectiva de signos, la izquierda es negativa y la derecha positiva, si disminuimos movimiento a la izquierda (negativo), nos movemos a la derecha (positivo), en la recta se vería de la siguiente forma: 

Dando como resultado que disminuir un numero negativo da un numero positivo, ya que en base de una idea lógica de “si no vamos a la izquierda” pues entonces vamos a la derecha. O pensar como que una doble negación es igual a una afirmación, o la famosa idea de que si dejo de tener una deuda, entonces pues es equivalente a tener ese dinero; ideas que aunque no parezcan cumplen el rigor matemático, ya que –(-2) no es igual a –(+2), y esto es diferente debido a la razón que mencione anteriormente en el ejemplo de (+3) x (-2) = (-6) donde nos indica el incremento de una deuda, o incremento de un desplazamiento a la izquierda, hablar de (-3)x(-2) nos habla de algo completamente diferente, habla de disminuir una deuda, ya no es el incremento de un numero negativo, sino la disminución de un numero negativo, resultando en un numero positivo, y puede ser precisamente de esto que nace la confusión. 

Ya que no es igual +(-3)+(-3) que –(-3)-(-3) notemos que +(-3)+(-3) es la suma de un desplazamiento a la izquierda, es decir, vamos a ir más a la izquierda. 

Mientras que –(-3)-(-3) es la disminución o resta del movimiento a la izquierda, ósea, iremos a la derecha, y la derecha representándose como el opuesto de la izquierda que es negativo, aquí encontraríamos un resultado positivo. 

Ya que no ir a la izquierda nos ubicaría entonces del lado derecho de la recta numérica donde se representa con valores positivos (+). 

Esta y un millón más de referencias que parecen ser “poco matemáticas” pero que de hecho estos análisis son completamente matemáticos y correctos, y no hace falta una demostración realmente muy complicada para darnos cuenta de ello. Son estas razones de las que hablaremos a continuación para explicar que estas ideas básicas son completamente demostrables. 

Términos: 

- Corolario: se utiliza para designar la consistencia de un teorema ya demostrado, sin necesidad de invertir esfuerzo adicional en su demostración. En pocas palabras, es una consecuencia obvia que no necesita demostración. 

- R: Números Enteros 

- Teorema: Un teorema es una proposición cuya verdad se demuestra. 

Nos enfocaremos en los 3 aspectos más directos de la demostración:

Corolario. Para a y b en R cualesquiera, a(-b) = -(ab) = (-a)b 

a(-b) = a((-1)b) = (-1)(ab) = -(ab) 

Aquí podemos ver diferentes maneras de representar la expresión de (-ab), y luciendo todas bastantes diferentes, pero realmente todas representan lo mismo. 

Teorema. Para todo (a) en R, -(-a) = (+a) 

El inverso aditivo de (-a) es único. Como a+(-a) = 0 = (-a)+a, (a) es el inverso aditivo de (-a); es decir, -(-a) = (+a) 

Esto lo que nos indica es que existe un único numero que puede hacer cero una expresión, es decir, el único numero que hace a (+5) igual a cero, es un número del mismo valor, pero de sentido contrario, ósea, (-5), ya que (+5)+(-5) = 0, el (-5) es el inverso aditivo de (+5). 

Por lo tanto, si (-5) es el inverso aditivo, ¿qué seria –(-5)? Si lo leemos seria “el inverso del inverso de (+5)” o también “el inverso de (-5)”, ¿cuál es el inverso de (-5)? Pues sí, es (+5). Por eso –(-5) = (+5) 

Y esto nos lleva al último teorema. 

Teorema. Para (a) y (b) en R cualesquiera, (-a)(-b) = (+ab) 

Usando el corolario y el teorema que explicamos anteriormente tenemos que: 

(-a)(-b) = -(a(-b)) = - (-(ab)) = (+ab) 

Aquí podemos ver el uso del corolario, en el cómo podemos reorganizar la expresión y obtener una manera más fácil de ver porque el resultado es positivo, ya que al final de la reorganización obtenemos –(-ab), cuya expresión se nos debe hacer familiar al inverso aditivo, esa expresión indicaría “el inverso de (-ab)” que como vimos en el teorema anterior, el inverso de (-ab) es (+ab) y se comprueba al ver que para hacer cero a (-ab) hace falta su opuesto (+ab) y seria (+ab)+(-ab) = 0 

- Y para resumir todo esto, en general tenemos que multiplicar por (-1) es hallar el opuesto de un número (-1)x(+a) = (-a) 

- Si luego tenemos (-b)x(+a) = (-1)(ab) obtenemos (-ab) que es el opuesto de (+ab) 

Ahora si aplicamos (-b)x(-a) es -(b.(-a)) = -(-ab), y esto es el opuesto del opuesto de (+ab), es decir, el opuesto de (-ab), y el opuesto de (-ab) es (+ab), ya que el número que hace a (-ab) igual a cero es (+ab) 

Aquí podemos ver porque tiene sentido hablar de una doble negación, o de un enemigo de mi enemigo, pero de manera más formal, y que no te confunda que menos por menos da más, y que mas por mas da más, esta idea esta en base de signos arbitrarios, por ejemplo, si invirtiéramos los signos de operación aritmética y los signos que otorgan el valor relativo obtendríamos. 

Si (-) fuera igual a sumar, y (+) fuera restar, y a la vez (-a) fue a la derecha y (+a) a la izquierda obtendríamos lo siguiente: 

-(-1)-(-1)-(-1) = (-3) 

Esto según la notación que establecimos se leería, “incrementar 1 paso a la derecha, volver a incrementar 1 paso a la derecha y por último incrementar un paso a la derecha” en la recta numérica se vería así: 

Luce bastante parecido a la original, la única diferencia es que cuando invertimos los signos obtenemos que ya no es (+3), sino (-3), y siendo ambas correctas según la notación que queramos utilizar, en este escenario si tuviéramos (-1)x(-3) sería igual a (-3). 

Por esa razón la ley de los signos no se trata de “mas por mas da más” y “menos por menos da más” y etc. Porque les acabo de demostrar que los signos son completamente arbitrarios, y cada uno tiene sus soluciones correspondientes. 

La ley de signos la debemos citar como “Iguales se suman y diferentes se restan”, y evidentemente el signo que tomara dependerá de la notación seleccionada, en este caso vemos que (-) es sumar, y que todos tienen el signo (-) por lo tanto todos se suman, y el resultado se manifiesta con su signo (-) respectivo. 

Por lo tanto, su aplicación en la vida real si concuerda con las típicas respuestas que nos ofrecen, podemos seguir pensando que no tener la carencia de algo, implica que entonces si tenemos ese algo, ósea, si dejo de tener no tener un dinero, entonces si lo tengo. La doble negación estudiada por la rama de la lógica desde mi visión personal me seguirá pareciendo la respuesta mas sensata y completa para este enigma, y que ahora que conocemos las matemáticas que respaldan ese teorema podremos tener mayor confianza al operar con expresiones de este tipo.