NÚMEROS NEGATIVOS

Para iniciar con este articulo hablaremos primero sobre los números negativos, primeramente distinguiremos los números negativos de la operación aritmética de sustracción o resta, ya que se suele denominar a todo número o letra que esta acompañado por un signo “-” como una resta, idea que está bastante alejada de la realidad. 

Los números negativos nacen de la creación de valores de igual unidad pero diferentes en grado, ósea, cantidades opuestas, como hablar de direcciones donde tenemos la derecha y la izquierda, ambas son direcciones pero apuntan en sentidos opuestos, es así que los signos “+” y “-” al lado de los números o letras ahora podían tener otra interpretación, y es que si se fijaba un sentido determinado, pues este iba a ser representado con el símbolo “+” y se llamarían cantidades positivas y esas otras cantidades que fueran al sentido opuesto de esa que previamente indicamos tomarán el nombre de cantidades negativas y usaran el signo “-”, esto sería equivalente a decir que los desplazamientos que van a la derecha tomaran valores positivos mientras que los desplazamientos a la izquierda tomaran valores negativos. Esta manera de asignar las cantidades positivas o negativas es completamente arbitraria, la derecha muy bien pudo haber sido denominada con los “valores negativos” y la izquierda con los valores positivos.

Esta nueva interpretación de las cantidades con signos se llamaría valores relativos, debido a que el signo no alteraba la magnitud que esa cantidad representaba, es decir, el signo no indicaba que un número fuera mayor que otro, sino que simplemente ambos representaban sentidos opuestos, así como la derecha y la izquierda, arriba y abajo, etc. 

Moverse 5 metros hacia arriba es igual de “grande” que moverse 5 metros hacia abajo, la única diferencia es que una cantidad se le coloca un signo “-” para indicar que va en sentido contrario a la original, que seria ir hacia arriba con signo “+”, pero en ambas situaciones las distancias son iguales. Por esta razón se le llamó valor relativo, ya que, a pesar de ser iguales, ambas adquirían una diferencia entre sí que se podía utilizar para operarse de manera distinta, si no tomáramos el valor relativo diríamos “me moví 5 metros y luego me volví a mover otros 5 metros” aquí no estamos indicando ninguna diferencia entre ambas, pero al momento que indicamos las direcciones estamos poniendo en escena a los valores relativos. 

Debido a que necesitamos diferenciar estos dos movimientos de arriba y abajo para poder ubicar un cuerpo en un plano se hace indispensable la diferenciación entre ambas cantidades, ya que si hablamos de que nos movemos 2 metros hacia arriba y luego otros 2 metros hacia arriba no hay ningún problema con el análisis natural que hacemos de sumar estas dos distancias, el problema surge cuando hablamos de direcciones opuestas, ya que ambas son distancias, por lo tanto se deben sumar, pero estas no me incrementan la distancia recorrida hacia arriba, entonces no podría sumar las dos debido a que obtendría que “3 metros + 3 metros” son 6 metros, pero realmente uno de esos 3 metros fue hacia abajo. ¿Cómo se podría operar con dos desplazamientos opuestos? 

Partiendo de la lógica de que ambos son opuestos, es decir, su incremento y disminución son lineales, Entonces puedo decir que, si estoy ubicado en 0 metros y subo 3 metros, ahora estoy en 3 hacia arriba, y que si luego bajo otros 3, pues me vuelvo a ubicar en mi punto inicial de 0 metros, ¿qué ocurrió aquí? ¿Como represento esto matemáticamente?.

En la antigüedad tras muchos análisis encontraron que la respuesta se encontraba en el uso de la operación aritmética de sustracción, es decir, se dieron cuenta de que la manera de operar magnitudes opuestas es con una resta, debido a que se disminuye o incrementa de manera lineal, es así, que se decide como una manera de simplificar este análisis asociar automáticamente los números negativos (opuestos) con la operación aritmética de resta, ya que todas las magnitudes independientemente de cuales sean, si se operan con su magnitud opuesta esto resultará en una resta (o suma según como hayamos identificado los signos de esas magnitudes). 

Veamos un ejemplo: 

-Si hablamos de dinero, se puede representar negativo como las deudas, y positivo como haber. 

-Las temperaturas como frio y calor se representarían como que las temperaturas bajo cero son negativas, y las temperaturas encima de cero son positivas 

Si hablamos de direcciones, el opuesto de la derecha es la izquierda, el opuesto de arriba es abajo. Y a pesar de que ambas son direcciones, no todas son opuestas entre sí, por ejemplo, la derecha no es el opuesto de abajo, ya que la relación que existe entre estas dos magnitudes no es lineal, solo la derecha e izquierda tienen una relación lineal, al igual que arriba y abajo. 

Y para saber que números son opuestos se debe ir a la recta real o recta numérica: 

La recta real es un gráfico unidimensional que se extiende en dos sentidos, derecha e izquierda y que tienen un punto en común llamado origen. 

A muchas personas si les preguntas que son los números negativos te responderán inmediatamente que son los números más pequeños que cero, y paralelamente si les preguntas ,¿qué es el cero? creen que el cero es el número más pequeño… aquí podemos notar dos conceptos mezclados, el concepto del cero absoluto, y el del cero relativo. 

El cero absoluto es el concepto que todos conocemos, el cero como “nada” el número más pequeño que pueda haber, pensar en el cero absoluto y decir que hay algo más pequeño (los números negativos) rompe completamente esa visión de cero absoluto, es por eso que cuando se aceptan los números negativos nace otro concepto de cero, el llamado cero relativo que es el que usamos como origen, como por ejemplo, una recta numérica donde el cero se usa con el propósito de simplemente indicarnos un punto de referencia y común para ambos extremos de la recta, ya que evidentemente pensar en restarle algo a la nada no tenia nada de sentido bajo la idea de un cero absoluto, pero si lo tenía cuando hablábamos de un cero-origen del cual partían tanto cantidades crecientes a la derecha, como cantidades crecientes hacia la izquierda, o que ahora que ya conociendo la diferencia y el verdadero significado del positivo y el negativo, podemos decir que el cero-origen es el punto común que existe entre los números positivos y negativos. 

Es por eso por lo que los números negativos no son menores que cero, son igual de grandes que los números positivos, solo que estos representan una dirección distinta. La misma recta numérica nos indica esta característica de los números negativos. 

Podemos percatarnos en la recta numérica que el cero es el punto donde divergen tanto los números positivos como negativos, indicándonos que todo parte de este cero-origen, y siendo este el mas pequeño, no como erróneamente se cree, de que los números negativos son menores que cero. 

Ya que pensar que los números negativos son menores que cero seria imaginarse una recta numérica de esta forma: 

Situación que evidentemente no es verdadera, la única recta con este aspecto sería una donde se manejara el concepto de cero absoluto, y los números en la recta comprenderían los números naturales y sería solo creciente a una dirección. 

Explicado esto podemos ver explícitamente el comportamiento de las magnitudes opuestas, y es que estas se encuentran a la misma distancia del punto origen, es decir, 3 metros a la derecha es exactamente la misma distancia que 3 metros a la izquierda, lo podemos ver en la recta como que se pueden hacer exactamente 3 saltos desde el cero-origen hasta el número 3 de cada uno de los extremos. 

Y fijémonos en que, debido a que aumentan y disminuyen en la misma proporción, si estoy ubicado en el cero-origen y aumento 3 pasos a la derecha, para volver al cero-origen solo me harán falta 3 pasos a la izquierda. A diferencia de una recta inclinada no uniforme, que, si tiene una componente de incremento hacia arriba de 3, y hacia la derecha de 2, y entonces si me desplazo obtendré que me moví 6 metros hacia arriba y 4 a la derecha, podemos ver que el incremento en una dirección es diferente al incremento en la otra dirección, demostrando así que ambas no son opuestas. 

Y entendido esto podemos ver de dónde surge la resolución de los opuestos como una sustracción o resta, si estamos en el punto de origen, y vamos a la derecha 5 pasos, y luego nos movemos 3 pasos a la izquierda, retrocedemos en esta recta y obtenemos que ahora estamos ubicados en el punto 2. 

Resultado que obtenemos porque tomamos en consideración que la dirección de los desplazamientos es diferente, pero ¿Cómo podemos obtener este mismo resultado sin usar el método grafico? Había que ingeniar una manera de obtener cualquier resultado de este tipo sin tener que ir directamente a las gráficas, y fue ahí cuando se dieron cuenta de que existía una enorme similitud entre el resultado obtenido en la gráfica y la operación aritmética de resta, ya que, si restábamos 3 pasos de los primeros 5 pasos, obteníamos la posición del objeto que se veía en la gráfica; lo veíamos en la posición 2. 

Y fue esto de lo que se percataron cuando empezaron a asociar la resta con los números opuestos, por esa razón hoy en día los números opuestos (o negativos) automáticamente los operamos como una resta, debido a que ver un numero negativo ya tiene implícito que es un numero opuesto a la magnitud que estamos buscando en un problema o en una ecuación. 

Pero que es de suma importancia no olvidar que realmente los negativos son el valor relativo de una magnitud, y que cuando veamos una expresión como (3-2), realmente no es la manera ideal para analizarla, sino, como (+3)+(-2), que nos indica por ejemplo, que le vamos a sumar a una distancia un desplazamiento en sentido contrario, pero que debido al análisis que hemos estudiado en este articulo podemos simplificarlo como (3-2), pero ya ahora lo podremos hacer teniendo en cuenta todo el estudio y el esfuerzo que llevó a las personas de esas épocas poder deducir que dos números iguales en magnitud pero diferentes en grado se tenían que operar restando.

Bibliografía: 

-LA JUSTIFICACIÓN DE LA REGLA DE LOS SIGNOS EN LOS LIBROS DE TEXTO: ¿POR QUÉ MENOS POR MENOS ES MÁS? BERNARDO GÓMEZ.

-ARITMETICA 3RA EDICION AURELIO BALDOR.

-ALGEBRA AURELIO BALDOR.